圆的认识

江阴市临港实验学校：吴萍

一、教材分析：

圆是小学数学里最后教学的平面图形，也是教学的唯一曲线图形。《辞海》关于圆是这样说的：在平面上，和定点有定距离的动点的轨迹。定点称为圆心，定距离称为圆的半径。有时也称轨迹所围的部分为圆，而称轨迹为圆周，称连接圆心与圆周上一点的线段为半径。本单元认识圆，没有给出有关圆的定义，而是通过两道例题，安排认识圆的各种活动，逐渐形成圆的概念。

日常生活中许多物体是圆形的或者有圆形的面，还有一些物体的运动轨迹是圆形的。教材首先呈现自行车的车轮、放大镜的镜面、钟面、橙的剖面、奥运五环图案等图片，在这些图中找出圆形，感受日常生活中经常能看到圆形。接着把看到的圆和已经认识的三角形、长方形等多边形相比，体会圆是曲线围成的，多边形是线段围成的，多边形有顶点、有角，圆没有顶点。这些体会都是他们对圆的初步认识。然后要求学生想办法画出一个圆，并在小组里交流画法。教材把画圆作为感知圆的学习活动，大致分两个层次进行：第一层次继续感知圆是由曲线围成的图形，不能沿着直尺的边画圆，而要利用圆形物体画圆。第二层次感知圆上的点到定点的距离是定长，这在用圆规画圆时体会最清楚。所以，要求学生“用圆规画一个圆”，并相互交流“用圆规画圆要注意些什么”。通过画圆来认识圆，一定要体会到，铅笔尖与固定点之间的距离始终保持不变，也就是圆上的每一点到固定点的距离都相等。

利用圆规画成的圆教学圆心、半径、直径，对它们的含义、形状、位置以及常用的字母表示方法，分别给出清楚的阐述。教材说“画圆时，针尖固定的一点是圆心”，认识圆心应该知道它是一个点，它在圆的正中间，是画圆时圆规针尖固定的一点。教材说“连接圆心和圆上任意一点的线段是半径”，认识半径应该知道它是一条线段，一个端点在圆心，另一个端点在圆上，并可以是圆上的任意一点。教材说“通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径”，认识直径应该知道它是经过圆心的线段，两个端点都在圆上。例1还要求他们在自己画的圆里标出圆心，画一条半径、一条直径，内化学习的知识。“练一练”第1题让学生识别半径与直径。对画在圆里的线段，无论是或不是半径、是或不是直径，都要说出理由，从线段所在的位置以及两个端点所在的位置作出判断和解释，从而加强对概念的理解与把握。

例2在圆上画一画、比一比、折一折，进一步体会圆的特征，加强圆的概念。这里涉及的圆的特点比较多。为了引导学生一边操作一边思考，教材提出两个讨论题。其中前一个问题“在同一个圆内有多少条半径，多少条直径？”要通过画一画获得体验。圆是曲线图形，圆周是无数个“点”的集合，每一条连接圆心与圆上一点的线段都是圆的半径，每一条通过圆心且两端都在圆上的线段都是圆的直径。在同一个圆里画半径和直径，就能得到“无数条”的体验。把圆折一折、比一比就能得到所有半径长度相等、所有直径长度相等的结论，也就本质地认识了圆。后一个问题研究同一个圆的直径和半径的关系。了解直径长度是半径的2倍、半径长度是直径的二分之一，就能相互换算，方便以后计算圆的周长和面积了。

二、学情分析：

《圆的认识》是在学生学习了直线图形的认识和面积计算，以及对圆有了初步的感性认识的基础上进行教学的。学生从学习直线图形的知识，到学习曲线图形的知识，不论是内容本身，还是研究问题的方法，都有所变化。教材通过对圆的研究，使学生初步认识到研究曲线图形的基本方法。同时，也渗透了曲线图形和直线图形的关系。这样不仅扩展了学生的知识面，而且从空间观念方面来说，进入了一个新的领域。

三、设计意图：

1、多种方式画圆，让学生体会圆规画圆的优越性

让学生画圆，他们通常会想到圆形的物体描一描或用圆规来画一画，实际教学时我通过三种画圆方式的对比，让学生认识到用圆规画圆的优越性，其中用钉子、棉线和粉笔画出圆形的过程中学生能更直观的看到定点、定长和运动一圈的轨迹，为后面认识圆的特征打下基础。

2、让学生自主建构圆心、半径、直径以及它们的特征

本节课认识圆的三要素以及半径、直径的特征就围绕一个问题：“你觉得是哪个数据决定了这两个圆的大小？”通过这个核心问题推动着学生找圆心、找半径、找直径，再通过学生与学生、学生与教师的交流、分享、补充、辨析等教学方式，让学生自主建构圆的特征。

3、猜圆游戏，让学生继续加深对圆的认识

圆形在生活中是很常见的一种图形，教学时，我通过猜一猜的游戏，一方面增加了课堂教学的趣味性，另一方面也巩固和加深了学生对圆的特征的认识。

“硬币为什么设计成圆形？”让学生不仅认识到圆形的优越性，更是了解到古人的设计理念；在钟面上找出“有形”和“无形”的圆，并通过想象和比较，明确半径决定圆的大小；“车轮为什么设计成圆形？”把圆的特征和生活紧密相连；通过坐摩天轮上最远的位置又引导学生明确了“在圆内所有的线段中，直径的长度最长。”

四、教学设计：

教学内容：

五年级下册第85-87页

教学目标：

知识与技能：使学生认识圆，知道圆各部分的名称；掌握圆的特征，理解直径和半径的相互关系。学会用圆规画规定大小的圆。

过程与方法：让学生在充分感知的基础上，能够理解并形成圆的特征，培养学生观察能力、空间想象能力以及抽象概括能力，并能运用所学的数学知识解决生活中简单的实际问题

情感与价值观：通过学习，提高学生对数学的好奇心与求知欲，初步认识数学与人类生活的密切联系，体验数学活动的意义和作用。

教学重点：

理解和掌握圆的特征，学会用圆规画圆的方法。

教学难点：

圆的特征的探究。

教具准备：

学生：白纸、圆规、直尺、圆形纸片。

教师：圆规、圆形纸片、课件。

教学过程：

一、激趣引入

师：同学们，我们在低年级时已经认识了圆形，老师这有一组图片，你能在图中找出圆形吗？生活中还有哪些物体的面上能找到圆形？

师：比一比，圆形和我们以前学过的三角形、长方形、平行四边形、梯形有什么相同，有什么不同？

师：关于圆还有哪些知识呢？今天我们就一起来继续认识圆形。(板书课题)

【设计意图：在图中找出圆形，让感受日常生活中经常能看到圆形。把看到的圆和已经认识的三角形、长方形等多边形相比，体会圆是曲线围成的，多边形是线段围成的，多边形有顶点、有角，圆没有顶点等。使学生对圆有一个初步的认识。】

二、自主探究

师：你能想办法画出一个圆吗？你打算怎样画？

预设：

（1）用圆形物体描一描 优点：很方便 缺点：大小受圆形物体的限制

（2）用圆规画

问：用圆规怎样画圆？自己先试着画一画。

生画，师巡视。

师：有的同学一次性画成功了，有的同学还有问题，下面在小组里互相交流，说说用圆规画圆要注意什么？

师：谁来说说？随着学生的回答教师示范用圆规画圆的方法。

师：用这样的方法你能画出和刚才大小不同的圆吗？怎样画？（改变圆规两脚之间的距离）

生尝试再次用圆规画大小不同的圆。

【设计意图：“用圆规怎样画出大小不同的圆？”教师引导学生发现只要改变圆规两脚之间的距离就能画出大小不同的圆，为后面教学“找到哪个数据决定圆的大小”做铺垫。】

师：老师在课前也画了两个大小不同的圆，请同学们拿出这两个圆。你认为是哪个数据决定了这两个圆的大小呢？你能找到这个数据吗？先自己想一想，找一找，再在小组里交流。师巡视指导。

师提示：将找到的数据在图上标出来。

展示：

生1（半径）：说说你是怎样想的？

生2（直径）：说说你是怎样想的？

【设计意图：学生在画圆的过程中已经体会到改变圆规两脚之间的距离可以画出大小不同的圆，也就是圆规两脚之间的距离可以决定所画圆的大小，那让他们找到决定圆大小的数据他们自然会用圆规比一比，然后把两脚之间的距离连起来，这样就会很自然的引出半径和直径了。】

【半径】

师：刚才两位同学分别找到两组不同的数据都是正确的。我们先来看这组数据：仔细观察，这两条线段的两个端点分别在哪里？

说明：圆中心的这个点叫做圆心（板书），圆心用字母o来表示。圆的边上简称圆上 。

师：像这样的线段你还能再画出几条吗？生画一画。（实投展示）

追问：连接圆心和圆上的这一点（红外线）可以吗？这一点呢？这一点呢？你知道这样的线段叫做什么？什么是圆的半径？

师：像这样连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。半径用小写字母r表示。教师在黑板上示范画出半径并标出字母。

师：这样的线段有多少条？它们的长度怎样？生回答，

师：半径有无数条，它们的长度都相等只是你的直觉（师在板书后面打上？）数学不能光靠直觉，得说出你的理由。先自己想一想再在小组里讨论和交流。

无数条预设：圆上每移动一点点就能找到一个点，这样的点有无数个，所以半径也有无数条

示错明理：

师：同学们说半径能画无数条，有个同学不相信，在圆中密密麻麻画满了半径，数了数，一共有242条，这是怎么回事？

生：线还可以再细一些。

媒体演示：线还可以再细些吗？大胆想象一下，如果线无限地细下去，那半径就可以画…（无数条）

师：无数条半径是画不出来的，但我们可以用这样的方法去想象它的存在。

长度相等预设：

①  用圆规画圆时，两脚之间的距离没有变，而两脚之间的距离就是半径

（能联系刚才画圆的方法来推理，真棒！）

②  量一量半径的长度

回顾和梳理：

（1）通过学习，我们知道了半径有什么特征？

（2）开始这位同学画的两条线段其实就是圆的什么？左边圆的半径大，圆就大；右边圆的半径，圆就小。所以半径能决定圆的大小。

【设计意图：内化半径的特征是本节课教学的重点和难点。“半径有无数条，长度相等”这个特征学生通过观察想象，再联系生活经验，他们不难得到结论，但是要说清理由却很不简单。学生在画半径时教师就引导学生发现可以连接圆心和圆上的任意一点画出半径，因此自然会有学生想到因为圆上有无数个点，所以半径就可以画无数条，“圆上有无数个点”这个知识本身就很抽象，学生理解还是有困难，因此教师出示一个反例，从反面再次证明圆内可以画出无数条半径。“同一个圆内，半径的长度相等”，学生通过画圆、交流已经明确画圆时圆规两脚之间的距离不变，而两脚之间的距离就是半径，由此来推理得出半径的长度相等。半径的两个特征教师没有一笔带过，而是花了更多的时间来引导学生主动的发现，使学生不仅知其然，而且知其所以然。在引导学生的说理过程中，他们的推理能力、空间想象能力、抽象概括能力等都得到了锻炼和提高。】

【直径】

师：除了半径能确定一个圆的大小，刚开始我们还找到了一个数据也能确定圆的大小，是什么？（直径）

要求：你也能画出几条直径吗？（实投展示）

师：思考一下，什么是圆的直径？直径又有什么特征？

学生独立思考后再小组里交流。

汇报：（1）什么是直径？师板书直径和字母

（2）直径有什么特点？

无数条：直径有无数条和半径有无数条的道理是一样的。

长度相等预设：

①  推理：一条直径等于两条半径，半径相等，那么直径也相等

师：这位同学不仅推导出了直径长度相等，还得出了一个新的结论，是什么？是的，在同一个圆里，直径和半径是有关系的，直径的长度是半径的2倍，反过来，半径的长度是直径的一半。用字母表示为d=2r

②  测量直径的长度

【设计意图：直径的特征与半径相同，因此在教学时教师放手让学生自己去交流与发现。他们在得出直径的长度相等时，自然会先说出半径与直径之间的关系，这样就构建了完整知识体系。】

师：刚才老师还发现有一些同学把圆片对折了，一起折一折。通过对折，你又有什么发现？圆是轴对称图形吗？它的对称轴在哪？它有多少条对称轴？为什么？

回顾：通过学习，你对圆又有了哪些新的认识？

三、应用拓展

1、画出指定大小的圆

（1）师：同学们已经能用圆规画出了任意大小的圆，如果老师规定圆的大小，你还能画出来吗？

出示题目要求，完成练习十三第2题，指名说一说具体的画法

师：都是4厘米，为什么不是一样大？

2、猜圆游戏

圆在我们的生活中随处可见，老师给同学们带来了生活中的一些圆，你想老师直接出示呢？还是给你一些数据，你来猜一猜？

①  半径=15厘米

钟面上你能找到圆形吗？生说一说，指一指

师：能找到一眼就能看到的圆不稀奇，谁能找到钟面隐藏的圆？

（在没有圆的地方你能找到圆，这是需要数学的思考和想象能力的！）

师：时针、分针和秒针运动形成的圆，哪个最大，哪个最小？为什么？用我们今天学的知识怎么说？

师：半径能决定圆的大小，那什么能决定圆的位置呢？板书

②  直径=75厘米

车轴装在轮子的什么位置？从车轴到地面的距离就是这个轮子的什么？坐在这样的汽车里感觉怎样？为什么？

如果给你的汽车装一个椭圆形或者正方形的车轮会怎样？

③  直径=135米

师：你能找到摩天轮的圆心在哪吗？一次，老师和我的儿子一起去坐摩天轮，我儿子想和我坐最远的位置，我坐在这头，那我儿子坐着哪？在图上指一指

多媒体出示不同的线段，指名指一指坐在哪并说明理由

师：这说明什么道理？

【设计意图： “猜一猜”这个游戏环节的设计即增加了课堂教学的趣味性，活跃了学生的思维，又将圆更多的知识点、圆在生活中的应用等知识都巧妙的融入其中，如半径能决定圆的大小、车轮为什么设计成圆的、圆内所有的线段中直径的长度最长等等。学生在游戏的过程中不仅拓展了对圆的认识，而且沟通数学与生活的联系，提高学生应用所学知识解决实际问题的能力，培养了他们的空间观念以及数学的思维和想象能力等。】

3、欣赏圆

师：圆在我们的生活中随处可见。多媒体播放书上的“你知道吗”

师：古希腊的一位数学家曾经说过，在一切平面图形中，圆是最美的。关于圆在以后的学习中你还会有更多的认识。

教后反思：

本节课的设计和教学主要有以下三个方面的亮点：

1、围绕一个核心问题引导学生探究

本节课的重点是圆的特征的探究。按教材的编排思路是由教师直接揭示圆心、半径、直径的概念，并要求学生通过折一折、画一画、量一量等活动，引导学生发现半径和直径的特征，而本堂课的设计我就围绕一个问题“你觉得是哪个数据决定了这两个圆的大小？”通过这个核心问题推动着学生自主找圆心、画半径、画直径，由学生的猜测“半径能画无数条，长度相等”，组织学生小组讨论验证自己的猜想。整个过程都是通过学生与学生、学生与教师之间的交流、分享、补充、辨析等教学方式，让学生自主建构圆的三要素以及它们的特征。

2、巧妙设计练习，将圆的知识蕴藏其中

教学完圆的特征以后，我设计了“猜一猜”这个游戏，这个环节的设计以游戏的形式增加了课堂教学的趣味性，活跃了学生的思维；其次将圆更多的奥秘、圆在生活中的应用等知识都巧妙的融入其中，如半径能决定圆的大小、车轮为什么设计成圆的、圆内所有的线段中直径的长度最长等等。这样不仅拓展了对圆的认识，而且沟通数学与生活的联系，提高学生应用所学知识解决实际问题的能力；通过学生这样的不断地想象和思考，他们的思维能力和空间观念也在不知不觉中得到了锻炼和提高。

3、将空间观念的培养贯穿于课堂之中

图形的认识这一领域的教学关键在与培养学生的空间观念，空间观念包括能够由几何图形联想出实物的形状，由实物的形状抽象出几何图形，通过给出的数据展开合理的空间想象并做出推测等。本节课中，无论是由生活中的物体抽象出圆形，还是由圆形想象生活中的物体，无论是半径为什么有无数条的空间极限想象，还是由给定的数据猜出生活中物体的原型等，都把培养学生的空间观念和空间想象能力真正落实到课堂之中。