基于反思的数学深度教学：内涵与过程

一、为什么会研究这个课题？

1.基于现实问题的思考

我已经工作14年，大家看我的教学工作经历，前10年一直教低年级数学，2015才年开始跳到高年级数学，从低年级和高年级，不管是学生还是教材都有着很大的区别，这中间的跨度需要每天花更长的时间和更多的精力研究教材、研究学生才能稍微有些底气走进课堂。辛苦的三四年磨炼下来，对于高年级的数学教学心中才开始有点数了。从低年级直接转到高年级的数学教学，可以说最大程度地感受到低年级和高年级的不同。看到了一些不一样的现象，听到了一些不一样的声音。

大家看看这些现象尤其是在高年级是否发生过或常常发生：

现象一：课堂上，学生端正的坐着，老师在讲台前面讲着，为数不多的提问，举手的学生寥寥无几，总是那几位同学愿意举手回答问题，或者学生无话可说，老师很无奈，只能以自己的讲解代替学生的言说，很快习题讲完了。

现象二：数学办公室里，老师们都在批阅作业，某老师说：“哎呀，这个题目前两天刚讲过，又错了一大片！”。某次测验后，某老师说：“这个题目，不知道讲了多少遍了，一个一个订正过去的，不知道怎么回事还是有不少人错的，唉，这帮孩子哦，学习能力太差。”

老师们，这样的现象，这样的抱怨声大家都见过、听过吗？其实，这些现象在高年级很常见。我们知道低年级的数学课堂小朋友们上课是很积极的，只要是会的问题小手举得高高的，就怕你不喊他，中年级呢也还行，但是到了高年级，学生年龄越高，课上越不愿意积极思考、积极回应老师，缺少思维的主动性、积极性。

这是学生方面，老师方面呢，事实上我们大部分的教师在教学时仍然“重传习轻思辨”，更多的关注知识与技能的掌握，而无视学科内隐的思想方法的提升。面对学生的疑点、难点、易错点，教师自以为是的节省时间，一厢情愿枯燥的重复讲解，练习一页页做，试卷一道道讲，但是量的积累真的并不能完全带来质的改变，我们有些老师喜欢把学生身边的每一本练习册、每一张试卷都要让学生做，不停地做不停的批，学生做的累，老师批的累、讲得累，每天办公桌上都堆着学生作业，但结果呢，测验的成绩并没有遥遥领先甚至有的落后于平行班。数学课堂上缺少必要的回顾、总结、提炼，思维的火花转瞬即逝；学生数学解题缺乏系统分析、思考的过程,思维一受阻,便无从下手，缺乏积极的自我评价；学生过多的表层、表面的学习，带给学生的反而是严重的思维惰性与反思障碍。

在低年级的数学教学中，我重点关注的学生数学学科能力之一——说的能力，开展过低年级数学口头作业的研究，到了高年级，一下子看见学生不说了，作为低年级上来的老师，课堂实在容忍不了学生的静默学习状态。面对高年级学生数学思维的惰性、作业质量的下滑，纠其原因，我觉得其实是老师代劳太多，老师过多的帮助养成了学生思维的惰性，而且老师的思考并不能完全代表学生的思维，不同的学生发生的错误可能也不相同，所以更应该培养学生进行自我反思，对自己的学习过程和学习结果进行自我评价、明确自己错误的原因进行自我调整，才能深刻、深层、深度的理解知识、掌握知识。所以我认为：为了学生的“进”，教师要尽可能地“退”。

2.基于相关理论的学习

高年级的学生应该已经具备一定的数学语言表达能力、数学逻辑思维能力等数学学科能力，完全可以培养学生的自我反思能力，以反思性学习为抓手开展深度教学研究，就是我教学高年级数学后重点关注的方向。也进行过一定的文献研究，有几条跟大家分享。

反思是思维活动的核心和动力，教学中必须重视反思性学习策略在课堂内、外的有效渗透，以反思性学习作为深度教学的有效途径，通过反思性学习来促进学生对知识的深度理解、主动建构、迁移应用及问题的有效解决，进而促进深度教学目标的达成，实现学生学习方式的根本转变，发展学生终身学习必备的素养。

荷兰著名数学教育家费赖登塔尔教授指出:反思是数学思维活动的核心和动力。(H．Freudenthal)美国心理学家弗拉维尔的元认知理论认为：反思是学生对自己认知过程、认知结果的监控和体会，数学的理解要靠学生自己的领悟才能获得，而领悟又靠对思维过程的不断反思才能达到。

数学我认为最重要的两条：一要培养他坐得住、长时间思考的习惯。二要有反思，要不断改进自己。（南京大学郑毓信教授）

美国格兰特。威金斯提出《追求理解的教学设计》应体现出六个侧面：解释、阐明、应用、洞察、神入、自知。其中，提供前后反思和元认知的机会，帮助学生学会反思、自我评估与自我调整。

学科能力不是随着知识的增加自然而然形成的，而是以理解和探究为基础的自觉知识转化过程，这一过程的基本方式是总结、反思和感悟。每一章、每一单元的学习过程中，总结、反思和感悟等学习方式应贯穿始终。可以说，没有总结，就没有知识结构的建立，从而也不可能有学科能力表现和学科思想的建立。没有反思，也不可能有清晰的得失和对知识与生活体验的深刻意义关联和目标达成。（华中师大郭元祥教授）

华东师大熊川武教授指出：从元认知理论的角度来看,反思就是主体对自己的认知活动过程.以及活动过程中涉及的有关的事物(材料、信息、思维、结果等)的特征的反向思考,通过调节,控制自身的认知过程,以达到认知的目的。

元认知理论的形成，深化并拓展了反思的概念，不仅使反思的内涵与步骤等更清晰，更易理解和把握，使反思从原来的心理现象变成了一种实践行为，直接在实践中发挥作用。

中外教育家、心理学家及教授学者都提出反思对学生学习的重要性。反思是一种能力，更是一种习惯。但并不是每个人都习惯去反思，都会反思，反思很难自发的形成，主要依靠后天的学习，学校和教师有责任在学生的学习过程中持之以恒地引导、帮助和督促。

二、如何理解内涵？

1.数学深度教学

数学深度教学应凸显数学学科的本质，强调引导学生深度理解知识，重视引导学生从关注知识本身到关注知识形成与发展的过程，从理解知识结论到逐步领悟知识的结构、原理以及本质，使学生不仅掌握基础知识、基本技能，更要体会数学思想方法和积累数学活动经验，通过启迪学生的深层思考，通过师生多维的深层互动，实现深层、深刻、深度的学习，从而促进学生数学思维的发展，促进学生数学学科能力的生长。

2.反思性学习

深度教学理念下的反思性学习区别于“反思性教学”，从以教师为主体转变为以学生的发展为本，旨在培养学生数学反思性学习能力。反思性学习并不局限于对自身行为或活动的回顾，而是引导学生对自身学习活动的过程，以及活动过程中所涉及的材料、信息、思维、结果等相关因素进行审视、思考的一种学习方式。学生在特定的情境下，对将要开展的学习活动进行创造性的设计，对学习活动过程中发现的问题进行科学性的探究，对整个学习活动过程进行有效的评价、调控，以促进问题解决、学会学习、自我发展。

反思性学习作为深度教学的有效途径，通过反思性学习来促进学生对知识的深度理解、主动建构、迁移应用及问题的有效解决，进而促进深度教学目标的达成。而在深度教学的实现过程中，学生的反思性学习能力也能够得到锻炼和发展。学生在体验、反思、归纳、应用等环节中循环往复、螺旋上升，不仅要通过体验和归纳来获得经验，更要通过反思和应用来改造经验，以促进对经验的深度理解。

三、 反思性学习在数学深度教学中的有效渗透

反思性学习是基于学生真实的自我反思，是学生对尚未开展和已经开展的学习活动、已经理解的和尚未理解的知识的逐步清晰的认识，要求学生能够进行自我察觉，能对自己的效能进行自我评价，能自我监控学习中所发生的变化并调整所使用的方法的学习策略。随着深度教学的进展，应积极地组织引导学生进行自我监控、自我评估、自我调整，引导学生对知识进行“自我叙述、自我阐释、自我表达”，从而使学生的学习真正地走向深层、深刻、深度。我在教学的这几个环节进行了探索。

1.预设中反思——设计

学习活动正式开始前，需要明确活动内容或规则等必要条件。在此环节中，常常都是由教师直接提出，学生有时根本不明白或没有意识去弄清制定活动规则的原因。其实，关于开展数学活动的反思时机不分先后，教师作为活动组织者的身份，引导学生利用已有的知识与生活经验，针对学习任务，对活动的内容、规则等进行规划与设计，对活动的结果进行猜想与预估，将会使整个活动更有效，也能培养学生反思的意识。

例如四年级数学上册《可能性》的教学，出示4张牌面，红桃A、红桃2、红桃3、黑桃4，提出问题：摸出哪种花色的可能性大？为什么？学生的猜测还需要进一步的实验验证，但是并不直接告诉学生规则，而是引导学生自主思考：要使摸牌活动体验更好，你认为要注意什么？让学生经历摸牌游戏规则的制定，了解规则制定的必要性，保障活动结果的有效性，提高学生数学实践能力。这就是学生结合自身已有的知识与生活经验，对即将开展的活动进行计划与指导，重视学生学科能力的发展，关注教学中每一个教学细节，充分把学生放在主体的位置，留有充足的时间给学生讨论、思考与交流，“授之以鱼不如授之以渔”， 培养学生独立思考、自主反思的学习习惯，让学生学会学习是教学的目标。

2.活动中反思——调控

学习任何知识的最佳途径是学生经历知识的形成过程，由学生自己去发现、思考并解决，这样的理解才最深刻。而反思应该融于学生的自主探索、合作学习的研究活动中，让学生在观察、猜想、操作、比较、分析、推理、验证等学习活动中自为自省，从而深刻领悟新知，提升学科能力。因此，使学生养成在活动中反思的习惯，是培养学生反思性学习能力非常重要的环节。

例如刚才一节课《解决问题的策略——假设》，每道题都可以用两种假设方法。为了完善学生认知，设计这样一个学习任务：一张桌子和4把椅子的总价是2700元，椅子的单价是桌子的1/5，桌子和椅子的单价是各是多少元？学生在独立解决问题的过程中，就会发现5把椅子才能替换成一张桌子，但是题中只有4张椅子，不太容易换，学生通过自我反思对两种假设方法已经进行了取舍，通过反馈交流进一步明确同一道题可以用不同的方法来解决，但当方法有繁有简时，需要针对情况有所选择，对策略的选择进行优化，从而提高学生灵活运用策略解决问题的能力。

学生的研究活动一定要创设恰当而有探究价值的问题情境，根据知识和学生思维特点设计有效的学习活动，更要留给学生更多的自我理解和建构、自我反思与调整的时空。活动中经常引导学生反思活动进展情况：我们对问题有哪些更新更深入的认识与理解？我们已经解决哪些问题？成功或失败之处是什么？还有哪些问题仍然没有解决？我们遇到什么问题？根本原因是什么？我们需要如何改进？不断地引导学生重新思考对问题的早期理解，适时的回顾活动的进程，以便更有效地进行下一步的活动，经历建构和完善的全过程。

3.交流中反思——明理

学生经历了学习活动并不一定就具有了活动经验，所以活动后应留给学生充足的时间和空间让学生自我反思，互相交流。学生交流中应展示出对解决问题的完整理解，不仅包括显性的知识性结论，更应该包括隐性的知识所得的思维过程。交流的方式包括了生生小组小组内交流、班集体的生生交流、师生交流，课堂上尽可能多的为学生提供思考、分析、交流、争论的时间，提高交流的时间和密度，加大学生的反思力度。

例如四年级数学上册《可能性》教学中，设计摸牌游戏，其中红桃3张，黑桃1张，小组合作，把4张牌打乱次序反扣在桌上，轮流任意摸1张，摸完后放回，再打乱后继续摸，一共摸20次，将每次摸到牌的花色按要求记录下来。小组活动结束并进行数据汇总，组织学生对各小组得到的数据进行反思与分析。1.看到这些数据，你有什么想说的？2.红桃3张，黑桃1张，红桃的张数是黑桃的3倍，但摸到的次数怎么不是3倍？3.摸到哪个球的可能性大（小）？4.有可能摸到黑桃比红桃多吗？等层层递进的反思性问题，使学生充分理解随机性以及概率与频率的区别。

交流中，教师并不是一个旁观者，而是一个倾听者、监控者、推进者，认真倾听学生的发言，及时捕捉学生思维的盲点、错点，适时恰当加以引导、点拨，推进学生思维的进展。不同的学生可能有不同的思考点，学生在不同方式的交流中思维碰撞，表述与论证自己的想法，激励学生对概念、猜想等进行必要的、持续的反思，激发更多问题的深度思考、热烈讨论、持续探究和新的理解，逐步得到更完善的结论，并提炼与外显所得的活动经验。

4.回顾中反思——悟道

千金难买回头望！在日常教学中，教师在学生自主探究获得新知后不能迫不及待地进入巩固应用环节，一定要舍得给予学生充足的时间，让学生对学习的新知及获取新知的过程进行回顾反思，这是学生对自身学习表现的自我评估，是对解决问题过程与方法的总结与提升，这是学生进入深度学习必不可少的一步，它能使经历变为经验，让方法提升为思想，从而提升学生的元认知能力，发展学科素养。

活动后回顾：引导学生反思整个探究过程和所获结论的合理性，称为“反思三部曲”， 第一步：这个结论对吗？以反思结论的合理性。第二步：这是不是最好的方法？（哪些方法有效、哪些方法无效、哪些可以做得更好？）以反思探求解题多样化和最优化的策略。第三步：我们是怎么得到这个结论的?以回顾反思探究的过程，总结经验，提炼方法。

课尾回顾：学生在课程任务结束时回顾一节课的学习过程，问自己：今天这节课我学到了什么？我在学习中最大的收获是什么？今天的学习我还有什么疑问？通过安排学生的回顾来开展对过程和结果的重新思考，才能使理解变得明确，事物的本质才会变得更清晰。

课后回顾：课后花2分钟时间进行随笔总结，让学生总结一到两个自己仍未解决的关键问题，以便下节课向老师提问。

单元回顾：一个单元往往是同类型知识点，蕴含着同样的思想与方法，因此单元结束时，有必要组织学生进行回顾，提炼解题策略和思想方法。

例如六年级数学下册《立体图形的表面积和体积的总复习》，其中包含了长方体、正方体、圆柱和圆锥的表面积和体积公式及相关的应用，知识容量较大。因此，组织学生课前围绕关键问题进行自主回顾、整理与复习。如：我们学过哪些立体图形的表面积和体积？分别是如何推导出公式的？其中蕴涵了什么策略？他们之间有怎样的关系？利用公式解决问题过程中我们要注意些什么？对你来说，哪部分知识内容需要重点复习？这样，不仅让学生尽快的唤醒旧知，自行编制知识网络，使知识更加系统化，进一步体会蕴涵的数学思想，扎实解决问题的策略，更能让学生对自身学习情况进行自我评价，明确优点与不足，以便科学地安排学习时间，提高学习时效。

知识的的得出固然重要，但让学生回顾知识探究的过程，重新整理思路，反思知识是通过何种途径、采用何种方法获得的更有意义。学生最终的自我评价以明确未解决的问题，设定未来的目标，设定新的学习方向，帮助学生对自己已经学习的内容，未来需要进一步探究和改进的内容作出判断。日积月累，学生习惯总结反思、提炼方法，获得经验，这才能为他们的终身学习打下厚实的基础。

5.应用中反思——深化

学会学习、学会应用是学生学习的终极目标。应用过程中学生要能够把一个情境中学到的知识与技能、思想与方法顺利迁移到新情境中解题，则需要反思能力。因此，教学中应注重习题的针对性，设计具有一定综合性、开放性的题目。学生针对学习任务，回顾反思已有的知识经验，合理地选择和评估策略，从而锻炼学生综合运用知识的能力以及思维的灵活性、发展性。

例如五年级数学下册《因数和倍数》练习时，设计这样一道题：猜猜5AB6DC这个六位数可能是多少？（1）这个数是2、3和5的倍数（2）B是2和3的最小公倍数。（3）D是B的最大的因数。这道题能够综合考察学生对因数、最大公因数、倍数、最小公倍数等概念的理解，促使学生积极调动自己对经验和知识的迁移。在如此多信息的前提下，同时考察学生合理解决问题的策略，先根据哪些信息求出哪一个数位上的数，在脑海中不断对比、分析、思考，最终由易至难顺利解题，从而对相关概念达到深刻的理解，并积累了解决相关问题的经验。

学生应用的过程并不是次次正确，错误再所难免，教师应有“融错”的教育理念，把学生的错误作为宝贵的教学资源，展现在课堂教学中，给学生提供反思和元认知的机会，引导学生找错、析错、纠错，找到达到更佳学习效果的路径和方法，从而有效提升数学学习的自我管理能力。

例如：把一张长为18厘米，宽为12厘米的长方形切割成同样大小的正方形，大正方形的边长最长为多少厘米？最多可以切割成几个这样的正方形？这道题是最大公因数和最小公倍数应用中典型的错题，学生往往搞不清到底是求长和宽的最大公因数还是最小公倍数。教师应给予学生反思、争辩的机会，理解正确的解题方法。教师还可以合理的加工，加入对比题:一张长为6厘米，宽为8厘米的长方形拼成一个正方形，正方形边长最小为多少厘米？至少需要多少块这样的长方形纸片？通过对比，提高运用最大公因数和最小公倍数解决实际问题的能力。

以上课堂中的五个基本环节，针对不同的教学内容，都可以将反思性学习策略在课堂教学中有计划、有目的、分层次地随机渗透。让学生学会以最及时、最有效地方式进行自我监控和自我调整，对知识和活动进行持续性的反思，培养反思习惯，提升反思性学习能力。

三、反思性学习在深度课堂教学外的有效实施手段

反思性学习的有效实施不仅仅局限于深度课堂教学中，而是要把学生的自我反思延伸至课外、校外。反思性学习是学生内隐的思维过程，利用“数学反思性学习作业本”进行可视化表征，指导学生通过外显的行为对自身的学习进行自我评估、自我评价与自我调整。“数学反思性学习作业本”不同于“错题本”，主要采用日小结、周反思、月报告的形式进行推进。学生通过整理所学内容并反思，进一步理解和巩固知识，掌握学科思想和方法,深化对知识的理解和方法的重新建构，培养学生的反思习惯、反思意识和反思策略，促使学生实现由“学会”向“会学”的转变。

1.           1.日小结

日小结是学生以整理学习当天的一道错题或好题的形式进行，强调分析错题错误的原因，写出题后反思（明确具体错误原因，总结正确解题策略），从而达到有效地自我评价和自我提升。同时，尊重学生学习水平的差异性，当日无错题的学生可自选好题，强调说明选择理由。

习题整理的步骤：

1.           2.周反思

周反思包括学生一周学习收获、学习困惑、针对学习薄弱点的巩固练习、

好题分享学科日记学科画报、绘制思维导图梳理知识或其他与学科相关的个性化内容。

学生作业展示1：思维导图式

学生作业展示3：总结反思类

从这一个星期下来，我发现自己做题时的缺点：1.没有读清楚题目的要求就做。2.单位换算，要么换错要么根本没换。3.算错。我希望从下一星期开始，我能在学习中改掉这些毛病。在遇到难题的时候能够独立思考，用自己做题的方法解决难题，还可以在自己的生活中发现问题，发现与数学有关的问题，并去解决。

学生作业展示4：阅读分享类

今天，我又一次发现：处处有数学！我看到这样一个故事：在清朝乾隆年间，乾隆皇帝下江南游玩，遇到一位老寿星。一打听，这位老寿星已经141岁了，皇帝赠了一联给老人：花甲重开，外加三七岁月。古稀双庆，更多一度春秋。你知道老人的141岁怎么算的吗？原来“重开”是指2个60，“三七”是指3×7，上联就是2×60+3×7=141（岁）；古稀是70岁，双庆指2个70，多一度春秋也就是加1岁，下联就是70×2+1=141（岁），原来，对联中也能藏有数学问题呢！

学生作业展示5：数学小论文

今天奥数班老师布置了一个任务，测量一次性筷子的体积。一回到家，我就静静地坐在书桌前思考这个问题。筷子不是规则图形，怎么算呢？突然，我看到数学家作的练字纸上的题目，有了一点眉目。我把一次性筷子放入一些水的容器里，水面就会上升，V上升的水=V物体，可转念一想，筷子太轻，会浮起来，应该多拿些筷子捆在一起，那就可以先求出上升水的的体积，就是X根筷子的体积，最后再除以X，那就是一根筷子的体积了。

一周小结有学生对一周学习过程和学习结果的理解、感受、体会与反思，使学生发现自己学习的进步或不足之处，并制定相应的措施进行调整；有学生从情感与态度方面与老师进行心理上的交流，使作业本成为师生沟通交往的纽带。一周小结是学生自我评价的平台，是反思性学习的重要途径，折射出学生反思的轨迹，也有助于教师了解学生，教师需要及时地评价，指导学生的学习。

1.         3.月报告

学生层面:学生梳理本月整理的题目，了解本月学习薄弱点，重点练习，或把错题重新做遍，了解掌握程度。教师层面:针对学生的整理，对学生的学习或自身的教学进行一月总结，反思教学不足，制订教学改进策略。教师也可设立“学生学习情况记载本”，把学生的典型错题分类记录。包括题目原型、错误再现、错因分析、校正对策四部分内容。在单元复习、期末复习时，改换题目的情景和数字再次练习，准确把握学生的复习起点，提高复习的针对性和有效性。

实践证明“数学反思性学习作业本”能帮助学生更牢固地理解、把握知识，提高学习效果，同时学生的反思能力、分析、解决问题的能力、数学语言表达能力等均有所提升，持之以恒必定能够促进学生数学学科能力的整体提升。

大多数老师可能更关注课外，但课内的学习才能有助于课外的独立反思、评价与调整，二者相辅相成，缺一不可！所以在课内、课外的各个环节有层次有目的地逐步加强对学生反思性学习能力的训练，丰富反思性学习的策略与技巧，促进学生对知识的深度学习，实现知识向经验、思想、能力的深度转化。学生不断地自我监督、自我评价、自我调整，形成反思习惯，使之成为学习自律者，终身受益！

基于反思性学习的深度教学研究还在进行中，感谢大家牺牲宝贵的时间来听我个人在研究中的一些初浅思考与探索实践，肯定有一些思考不当、不成熟的地方希望大家能批评指正，谢谢大家！

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