渗透数学思想 感悟数学本质

江阴市临港实验学校 屈佳芬

数学思想的内涵

数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。是数学中处理问题的基本观点，是对数学基础知识与基本方法本质的概括，是创造性地发展数学的指导方针。

德国著名物理学家、诺贝尔奖获得者冯·劳厄（M.von Laue）曾说：“教育所能给予人们的无非是当一切已学过的东西都忘记后所剩下来的东西”

比如，我们可能忘记了一些数学公式、数学定律，但是碰到解决生活中的问题的时候可能会想到分类讨论，举例枚举，判断推理一些事情的来龙去脉，这些其实数学思想在指导我们的生活实践。有些人思考问题思路清晰、条理清楚，说明他对数学思想领悟比较深刻，反之有些人思维混乱，缺少方向，则说明他对数学思想缺少积累。

一位教育学家曾指出：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，惟有深深铭记在头脑中的是数学精神和数学的思想、研究方法、着眼点等，这些随时随地发生作用使学生终身受益。”

为什么要在教学中渗透数学思想方法？

1.学生发展的需要

随着科技的进步，社会的发展，数学无处不在，无处不有。数学将在人类的生存中应用更为广泛。一个学生在学校里所学的数学知识，今后不管他从事什么工作，最有用的就是数学思想方法。因为数学思想方法是对数学规律的理性认识，它具有本质性、概括性、深刻性，是人们生活、劳动和学习不可少的工具，数学模型可以有效地描述自然现象与社会现象，也是一切重大技术发展的基础，为其他科学提供语言、思想和方法。

数学本身是一个具有多种含义的整体，如果我们把数学当作一种知识，一种方法，一种自然观和科学观，一种方法论来教的话，人文价值就自然而然地显现出来。数学解题所采用的顺推与逆推，正面与反面，特殊与一般，局部与整体，类比与联想，化归等解题思想方法，都是学生将来走向社会及生活和工作的必备素养，亦是学生将来解决问题必备的方法策略。这些素养将直接影响到学生能否适应社会的需求，因此对学生加强数学思想的渗透，将对学生终生发展起到积极的作用，学生掌握了数学思想就等于掌握了生活工作的“万能钥匙”。

教学改革的需要。

在多年的教学工作中，我们不难发现，有的学生学起数学真是得心应手，左右逢源，思路清晰，才思敏捷；而有的学生是手忙脚乱，捉襟见肘，理不清头绪，糊涂一团。常有人说“他”缺少数学细胞，实质上就是对数学思想没有把握住的一种形象比喻。

受长期应试教育的影响，教师在教学中重结论，轻过程，只重视数学知识的传授，往往把结论直接告诉学生，而不去揭示其思维过程和渗透数学思想方法；只重学生做题的数量，而忽视了做题的质量。导致学生在数学学习中知其然，而不知其所以然。看重于眼前的应试效益，而轻视了学生的长远发展。

跟大家讲一个我亲眼见到的事例，在课外活动课上，我看到其他同学都在操场活动，有一位学生正伏在篮球架上写作业，我想，这位学生怎么这么认真呢，走过去一看，再写S=  ,写了数学本整整一页。我问，这是谁让你抄的，他说，今天默公式没默出，老师让我抄100遍。我听了学生的回答，真不是滋味，但我在学生面前给了这位老师面子，对这位同学说，以后上课认真听，就不会不知道这个公式了啊。老师们，其实，仅是学生没有认真听的原因吗？课堂上对圆面积公式的推导草草了事，学生根本没有建立圆面积公式的数学模型，他怎么可能正确的应用呢。我看这位学生还很老实、听话，换了我儿子，肯定来个S=  100，看你老师怎么收场。

我们的孩子到底需要什么？我们来看一组图片

当人家的孩子在尽情玩耍的时候，我们的孩子已经在不断地学习、作业、培训了。如果我们的教学还是这么简单、粗暴，停留在抄抄、写写、背背上，那怎么能提高学生的学习兴趣呢，还谈何数学思想的形成，还怎样促进学生的终身发展呢？

在平时的随堂听课中，我们不难发现，在数学教学中数学思想的教学不受重视的现象大量存在，相当一部分教师根本没有把培养学生的数学思想纳入教学目标。数学教学若是只停留在 “数学知识的表层教学”，则远远不能培养数学的思维能力，因此，教学改革，我们永远在路上。

3．落实新课标精神的需求

我们来看一下近40年来我国小学数学课程在数学思想方面要求的演变过程。

三十多年来，我国小学数学课程的目标在不断演变。在其演变过程中，与国际数学教育强调数学思想方法相呼应，我国小学数学教学大纲（课程标准）逐步明确提出渗透数学思想方法的要求。

教育部1978年2月颁发的《全日制十年制学校小学数学教学大纲（试行草案）在“教学内容的确定”中首次提出“适当渗透一些现代数学的思想”，并指出，“在小学，通过直观，使学生尽早接触集合、函数、统计等一些现代数学的思想。在“教学内容的安排”中明确要求：“现代数学思想渗透在各年级的教学内容中。集合思想从一年级人数就开始渗透，以后，在人数、认识几何图形以及数学整除等内容中，陆续渗透“子集、交集等思想。函数思想也从低年级起就注意渗透，高年级讲比例时继续加强。在百分数和统计图表等内容中，注意使学生接触一些初步的统计思想和方法。”

国家教育委员会1986年12月颁发的《全日制小学数学教学大纲》在“教学内容的确定”中明确要求“结合有关内容，适当渗透一些数学思想和方法”；在“教学内容的安排”中要求“结合基础知识适当渗透一些数学思想和方法。例如，用画集合圈的办法，加深学生对数的认识，直观地表示出几何图形之间的关系，形象的说明约数、公约数，最大公约数之间的关系，倍数、公倍数、最大公倍数之间的关系等。通过关联的式题、常见的数量关系、正比例等渗透一些函数思想。通过求平均数、百分数和统计表等，使学生接触一些初步的统计思想和方法，并且指出，”渗透要做到自然，不要加重学生的负担。

国家教育委员会1992年6月颁发的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用），要求“结合有关知识的教学，适当渗透集合、函数等数学思想和方法，以加深对基础知识的理解。”

1978年以来的前20年，大纲要求在加强“双基”的教学中渗透数学思想和方法，主要是渗透集合、函数和统计的思想方法，其落脚点是为了有利于学生加深对数学基础知识的理解。换句话说，渗透数学方法的目的是落实并加强“双基”、其渗透有“为他人做嫁衣”之嫌。

教育部2001年7月颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》在课程“总体目标”中要求通过义务教育阶段的数学学习，学生能够“获得适应未来社会和进一步发展所必须的重要数学重视（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能，第一次将“基本的数学思想方法”作为学生数学学习的目标之一，改变长期的“双基”（基础知识、基本技能）教与学的目标。在“课程实施建议”中多次提出，要根据小学生已有经验、心理发展规律以及所学内容的提点，采用逐步渗透，螺旋上升的方式，引导学生感悟数学思想方法。

新目标不仅关注显性的双基，而且关注隐性的数学思想，注重双基与数学思想的结合，使二者相互促进形成有机整体，这并不是对传统特色的否定，而恰恰是对数学教学“双基特色”的继承和发展。

教育部2011年颁布的《义务教育数学课程标准》在总目标中指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”在“课程实施建议”中谈到：“数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。”

修订版的课程标准将基本思想与基础知识、基本能力相提并论，实现了从“双基”到“四基”的转变。更加凸显了数学思想在教学中的地位。

基于“全面知识”的数学观和教学观，数学课程重视数学思想，关注学生在数学学习过程中对数学思想方法的感悟，更加关注的是数学思想本身，而不仅仅是通过渗透数学思想加深对数学基础知识的理解。实现这一目标，需要在数学教学活动中，继续促进学生理解基础知识、掌握基本技能，同时启发他们领会数学思想，真正促进学生全面、持续、和谐的发展。

有必要把概念再次理清

数学思想与数学方法

数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的一种结果。数学思想比一般说的数学概念具有更高的抽象概括水平，后者比前者更具体更丰富，而前者比后者更本质更深刻。

数学方法是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式。

数学思想和数学方法两者既统一又有区别。例如，在初中代数中，解多元方程组，用的是“消元法”；解高次方程，用的是“降次法”;解双二次方程，用的是“替换法”。这里的“消元”、“降次”、“替换”都是具体的数学方法，但它们不是数学思想，这三种方法共同体现出“转化”这一数学思想，即把复杂问题转化为简单问题的思想。具体的数学方法，不能冠以“思想”二字。如“配方法”，就不能称为数学思想。它的实质是恒等变形，体现了“变换”的数学思想。然而，每一种数学方法。都体现了一定的数学思想；每一种数学思想在不同的场合又通过一定的手段表现出来，这里的手段就是数学方法。

也就是说，数学思想是理性认识，是相关的数学方法的精神实质和理论依据。数学方法是指向实践的，是工具性的，是实施有关思想的技术手段。数学思想在上位，数学方法在下位。

因此。人们通常将数学思想和方法看成一个整体概念—数学思想方法。一般来说，数学思想方法具有三个层次:低层次的数学思想方法(如消元法、换元法、代人法等)，较高层次的数学思想方法(如分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等)，高层次的数学思想方法(如转化、分类、数形结合等)。

较低层次的数学思想方法经抽象概括可上升为较高层次的数学思想方法，各层次间没有明确的界限。

数学知识与数学思想的关系

数学思想不同于数学知识，是“知识背后的知识”，其与数学知识之间有着密切的关系。一方面，数学生数学思想的形成离不开数学知识的学习，没有获得一定的数学知识，数学思想的形成就如“无源之水无本之木”；另一方，数学知识的获得并不等于数学思想的形成，知识学习的多少与数学思想形成的多少之间也不存在正相关。学生数学思想是在数学知识学习过程中形成的，数学知识的学习过程就是数学思想的形成过程，这就使得在数学教学中渗透数学思想的教学显得尤其重要了。

数学教材体系看，整个小学数学教材中贯穿着两条主线，一是写进教材的最基础的数学知识，它是明线，一贯很受重视，必须切实保证学生学好。另一条是数学能力培养和数学思想方法的渗透，这是条暗线，较少或没有直接写进教材，但对小学生的成长却十分重要，也越来越引起人们的重视。

（附教材图片）

如加法交换律和加法结合律，教材表面的知识点是让学生学会这两条定律，实质的编排就隐含了推理思想中的“不完全归纳的思想”， 例如，28个男生跳绳 ，17个女生跳绳，23个女生在踢毽。求跳绳和踢毽子的一共有多少人，可以先求跳绳的人数，列出算式（28+17）+23计算，也可以先求女生人数，列出算式28+（17+23）计算。这两道算式的算理是等价的，得数也相同，所以可以写成等式（28+17）+23=28+（17+23）。在第一个实例中，学生看到的数学现象不是普遍性的规律，需要在类似的情况中进行验证。于是教材让学生分别算一算 ，看看每组的两道算式是不是分别相等，两道算式中能不能填上等号，再看看这些相等的算式有什么结构上的提点。猜猜这种结构特点的算式结果是否一定相等。通过实验发现第一个实例中的数学现象在类似的情况中同样存在。接着鼓励学生自己写出类似的几组算式，进行更多的验证，体现现象的普遍性。学生通过类似的实验，在实验中概括出加法结合律，并用字母公式表示。

在教材解读中，我们不仅只看教材的表面，而要弄明白知识背后隐藏的暗线，并在实际的教学中两条线同时进行。

郭元祥教授从教育学立场下的知识观出发，对知识的内在结构进行了深度的解析，他认为，任何知识都是由符号表征、逻辑形式和意义三个不可分割的部分组成的，其中，知识的逻辑形式是指“人认识世界的方式，具体包括知识过程的逻辑过程和逻辑思维形式”^[4]。具体到数学知识，数学知识的逻辑形式主要是指数学思想，它是隐含在数学知识的“符号表征”之中的，反映了人认识数学世界的方式和过程，有了数学思想，数学知识才具有了认知价值；有了数学思想，学习者才能够经由数学知识的符号（文字符号、数字符号、运算符号等）获取到数学知识丰富的意义；有了数学思想，学习者才能获得数学知识内具的促进人的思想、精神和能力发展的力量。

数学思想与基本数学思想

数学思想的内容非常丰富，种类很多。比如我们非常熟悉的转化思想、分类思想、数形结合、类比等等。那么为什么要加“基本”两个字呢，基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，其他思想都可以从基本思想中派生出来。它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。史宁中教授指出：基本数学思想不应当是个案的，而必须是一般的。这大概需要满足两个条件：一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想。二是学习过数学的人所具有的思维特征。这些特征表现在日常的生活之中。基本数学思想有三种，分别是有抽象的思想、推理的思想与模型的思想；这就可以归纳为三种基本思想，即抽象、推理和模型。通过抽象，人们把外部世界与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学研究的对象，其思维特征是抽象能力强；通过推理，人们得到数学的命题和计算方法，促进数学内部的发展，其思维特征是逻辑能力强；通过模型，人们创造出具有表现力的数学语言，构建了数学与外部世界的桥梁，其思维特征是应用能力强。这三种思想也是数学学科实质。

抽象思想是基本思想之一，它可以派生出分类的思想、集合的思想、数形结合的思想、符号表示的思想、对称的思想、对应的思想、有限与无限的思想等等。

推理思想在数学学习中表现非常广泛，具体运用中可以派生出归纳思想、演绎思想、公理化思想、转化思想、类比思想、逐步逼近思想、代换思想、特殊一般思想等等。

数学建模的思想派生出简化的思想、量化的思想、函数的思想、方程的思想、优化的思想、随机的思想、抽样统计的思想等等。

1. 抽象的思想

歌德斯堡七桥问题

18世纪,东普鲁士的首府哥尼斯堡是一座景色迷人的城市,普莱格尔河横贯城区,使这座城市锦上添花,显得更加风光迷人。这条河有两条支流,在城中心汇成大河,在河的中央有一座美丽的小岛。河上有七座各具特色的桥把岛和河岸连接起来。每到傍晚,许多人都来此散步。人们漫步于这七座桥之间,久而久之,就形成了这样一个问题：能不能既不重复又不遗漏地一次相继走遍这七座桥?这就是闻名遐迩的“哥尼斯堡七桥问题。”每一个到此游玩或散心的人都想试一试,可是,对于这一看似简单的问题,没有一个人能符合要求地从七座桥上走一遍。

这个问题后来竟变得神乎其神,说是有一支队伍,奉命要炸毁这七座桥,并且命令要他们按照七桥问题的要求去炸。

七桥问题也困扰着哥尼斯堡大学的学生们,在屡遭失败之后,他们给当时著名数学家欧拉写了一封信,请他帮助解决这个问题。欧拉看完信后,对这个问题也产生了浓厚的兴趣。他想,既然岛和半岛是桥梁的连接地点,两岸陆地也是桥梁的连接地点,那就不妨把这四处地方缩小成四个点,并且把这七座桥表示成七条线。这样,原来的七桥问题就抽象概括成了如下的关系图：这显然并没有改变问题的本质特征.于是,七桥问题也就变成了一个一笔画的问题,即 ：能否笔不离纸,不重复地一笔画完整个图形。这竟然与孩子们的一笔画游戏联系起来了。接着,欧拉就对“一笔画”问题进行了数学分析，一笔画有起点和终点,起点和终点重合的图形称为封闭图形,否则便称为开放图形。除起点和终点外,一笔画中间可能出现一些曲线的交点。欧拉注意到,只有当笔沿着一条弧线到达交点后,又能沿着另一条弧线离开,也就是交汇于这些点的弧线成双成对时,一笔画才能完成,这样的交点就称为“偶点”。如果交汇于这些点的弧线不是成双成对,也就是有奇数条,则一笔画就不能实现,这样的点又叫做“奇点”。见下图：欧拉通过分析,得到了下面的结论：若是一个一笔画图形,要么只有两个奇点,也就是仅有起点和终点,这样一笔画成的图形是开放的；要么没有奇点,也就是终点和起点连接起来,这样一笔画成的图形是封闭的。由于七桥问题有四个奇点,所以要找到一条经过七座桥,但每座桥只走一次的路线是不可能的。有名的“哥尼斯堡七桥问题”就这样被欧拉解决了。在这里,我们可以看到欧拉解决这个问题的关键就是把“七桥问题”变成了一个“一笔画”问题,那么,欧拉又是怎样完成这一转变的呢?他把岛、半岛和陆地的具体属性舍去,而仅仅留下与问题有关的东西,这就是四个几何上的“点”；他再把桥的具体属性排除,仅留下一条几何上的“线”,然后,把“点” 与“线”结合起来,这样就实现了从客观事物到图形的转变。我们把得到“点”和“线 ”的思维方法叫做抽象,把由“点”和“线”结合成图形的思维方法叫做概括。

所谓抽象就是从客观事物中排除非本质属性,透过现象抽出本质属性的思维方法。也就是说，找出一些事物的共同性质，对这些共同性质进行相同的处理，处理的结果可以用到原来的具体问题中，和单独处理具体问题所得到的结论一样。

数学抽象就是从研究的对象或问题中，抽取出数量关系或空间形式而舍弃其他的属性，借助定义和推理进行逻辑构建的思维过程和方法。

数学抽象根据抽象对象的性质可以分为 “表征型抽象” “原理型抽象”。对事物外露的表面特征的进行抽象，称为“表征型抽象”。如长方形、正方形、三角形、圆等概念的给出都是“表征型抽象”的结果。对事物内在因果和规律性的联系进行的抽象，称为“原理型抽象”。 例如运算律的推导，三角形内角和的发现等都是“原理型抽象”的结果。

数学就是是在人类生产生活的实际需要中产生和发展的，人们从5个手指头、5只羊、5个人、5步远、5个人高、5个白天等物体个数、长度、高度、时间等现实概念中抽象产生了数字5，用它来表示一类量。由于要建造房屋等生活设施，人们要量地的长宽、测量物体的长宽高等，从物体的具体形状中逐渐抽象出点、直线、线段、三角形，长方形，长方体和圆等几何概念。人们除了从现实生活和生产实践中抽象概念和运算外，还从数学结构出发，抽象出新的概念和运算法则，通过逻辑推理来建构新的数学，所以说，数和形的概念来自于人们对现实世界具体对象的抽象概括。纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，是非常现实的材料，这些材料经过想像创造、抽象概括，以极度形式化的结果出现，再借助逻辑的力量将它们巧妙的连接起来。

抽象的思想在学生数学学习中几乎无处不在，如一个概念的得出，一个计算过程的建立，一个证明技巧的发现等都要用到抽象的思想。无论是简单的知识和复杂的知识，也都蕴含着抽象的思想。

在一次教研活动中，一年级的老师上了一节“10的分与合”，听完课后，我请两位几位老师谈谈这节课的教学中怎样渗透抽象的数学思想的。几位老师是这样回答的：

新教师：“平时的家常课，我没有多想怎样渗透数学思想，教材怎样写就怎样教了。”

新教师：“总感觉数学思想是个很玄乎的概念，不好在课堂中实施。”

骨干教师：“教材都是名家大师编写的，你用教材来教，自然就能渗透数学思想，哪怕不知道什么思想。”

骨干教师：“渗透抽象思想的确很有必要，但是你要指着10的分与合，告诉一年级的学生：这就是抽象，他能懂吗。”

以上对话大抵反映出数学思想在教学中的现状。很多教师眼中还没有数学思想，更多的盲目按教材教。认为教材中既然蕴含着数学思想，那么按教材教就自然能渗透数学思想。

教学最怕的就是“以己昏昏，使“生”昭昭”。如果自己糊里糊涂，怎么去教让学生明白呢？

我们来看教材的例题的思维线索：说出第一串珠子中涂色和未涂色的个数——体会10可以分成几和几——有序地涂一涂、分一分——根据分的结果分别填一填。其抽象的思维轨迹清晰可见，具象操作——言语抽象——符号抽象。教学时，教师可以先动态呈现第一串珠子，让学生说出“10颗珠子，已经涂了1颗，还有9颗没有涂”

（初步用语言来抽象描述现象）。接着呈现余下4串珠子，组织学生涂一涂。（通过外显的动手操作，积累内部思维经验），学生涂后，组织学生说出每次涂的结果（再一次通过语言抽象进行表象操作，为后面的符号抽象做好铺垫）师：10颗珠子，涂了一颗，还有9颗没涂，可以说成10可以分成1和9。同学们，你能根据自己涂的结果说一说，写一写吗？（从说一说到写一写，实则是从言语抽象过渡到符号抽象）师：还可以怎样分？你能接着再写一写吗？生尝试写。（符号抽象在表象操作中继续深入），学生有的是按顺序写，有的未按顺序写。师展示不同的写法。问，这些写法中，你比较喜欢哪一种？（通过比较，抽象出以从小到大或从大到小顺序标准可以实现不重复，不遗漏）这样教学，尽管不提抽象，但学生拥有深刻的抽象思维经历和体验。如果再“数、图形的认识“等一切蕴含抽象思想的内容教学中，都能以抽象思维为活动主线”，那么潜移默化中学生的抽象思想会逐渐形成。

四、推理思想

推理思想的概念。（课标）

我国数学教育几十年来的主要优势或者说成果就是重视培养学生的运算能力、推理能力和空间想象能力。传统的数学大纲比较强调逻辑推理而忽视了合情推理；而2001版的课程标准又矫枉过正，过于强调合情推理，在逻辑推理能力方面有所淡化。实践证明，二者不可偏废。就学好数学或者培养人的智力而言，逻辑推理和合情推理都是不可或缺的。修订版的课程标准在这方面有比较合理的处理，明确了推理的范围及作用“推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们在学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。……在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性”。

我们来理解一下推理的概念：

推理是从一个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式。推理所根据的判断叫前提，根据前提所得到的判断叫结论。

推理分为两种形式：合情推理和演绎推理

(1)  演绎推理。

演绎推理：一般到特殊

演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。

我们来看一个演绎推理的应用故事：

富家少女鲍细娅品貌双全，贵族子弟 、公子王孙纷纷向她求婚。鲍细娅按照其父遗嘱，由求婚者猜盒定婚。鲍细娅有金、银、铅三个盒子，分别刻有三句话，其中只有一个盒子，放有鲍细娅肖像。求婚者通过这三句话，猜测鲍细娅的肖像放在哪只盒子里 ，谁猜中了就嫁给谁。三个盒子上刻的三句话分别是：（1）金盒子：肖像不在此盒中。（2）银盒子：肖像在铅盒中。（3）铅盒子：肖像不在此盒中。鲍细娅告诉求婚者，上述三句话中，最多 只 有 一 句 是 真 的 。如 果 你 是一 位求婚者，如何尽快猜中鲍细娅的肖像究竟放在哪一个盒子里？

A. 金盒子；B. 银盒子；C. 铅盒子.

【解析】因为（2）和（3）有矛盾，已知最多只有一句话是真的，所以这两句话肯定有一句话是假的，一句话是真的。 假设（2）是真 的，因为（2）说在 铅盒里 ，所 以（1）和（2）就都是真的，所以肯定不在铅盒里，而在金盒里。所以应该选A。

在数学中，演绎推理的常用形式有：三段论、选言推理、假言推理、关系推理等。

三段论，有两个前提和一个结论的演绎推理，叫做三段论。三段论是演绎推理的一般模式，包括：大前提——已知的一般原理，小前提——所研究的特殊情况，结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断。例如：一切奇数都不能被２整除，(２³＋１)是奇数，所以(２³＋１)不能被２整除。

选言推理，分为相容选言推理和不相容选言推理。这里只介绍不相容选言推理：大前提是个不相容的选言判断，小前提肯定其中的一个选言支，结论则否定其它选言支；小前提否定除其中一个以外的选言支，结论则肯定剩下的那个选言支。例如：一个三角形，要么是锐角三角形，要么是直角三角形，要么是钝角三角形。这个三角形不是锐角三角形和直角三角形，所以，它是个钝角三角形。

假言推理， 假言推理的分类较为复杂，这里简单介绍一种充分条件假言推理：前提有一个充分条件假言判断，肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件。例如：如果一个数的末位是０，那么这个数能被５整除；这个数的末位是０，所以这个数能被５整除。这里的大前提是一个假言判断，所以这种推理尽管与三段论有相似的地方，但它不是三段论。

关系推理，是前提中至少有一个是关系命题的推理。下面简单举例说明几种常用的关系推理：(1)对称性关系推理，如１米＝１００厘米，所以１００厘米＝１米；(2)反对称性关系推理，a大于b，所以b不大于a ；(3)传递性关系推理，a>b，b>c，所以a>c。关系推理在数学学习中应用比较普遍，如在一年级学习数的大小比较时，把一些数按从小到大或从大到小的顺序排列，实际上都用到了关系推理。

（2）合情推理。合情推理：特殊到一般

合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。当前提为真时，合情推理所得的结论可能为真也可能为假。

合情推理的常用形式有：归纳推理和类比推理。

归纳推理，是从特殊到一般的推理方法，即依据一类事物中部分对象的相同性质推出该类事物都具有这种性质的一般性结论的推理方法。

归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法。完全归纳法是根据某类事物中的每个事物或每个子类事物都具有某种性质，而推出该类事物具有这种性质的一般性结论的推理方法。完全归纳法考察了所有特殊对象，所得出的结论是可靠的。

不完全归纳法是通过观察某类事物中部分对象发现某些相同的性质，推出该类事物具有这种性质的一般性结论的推理方法。依据该方法得到的结论可能为真也可能为假，需要进一步证明结论的可靠性。

我们来看一个归纳推理的应用故事：

归纳推理：

纸牌魔术：魔术师从一副扑克牌中抽出21张，对一位观众说：“请你默记其中一张牌。”观众看了看，记住了其中一张。魔术师把牌洗了一通，然后在桌面上分牌。如图1，把第一张放在图上1的位置，第二张放在2的位置……最后一张放在21的位置上，牌面均向上，摆成三组，每组7张。 此时问观众，默记的牌在哪一组。当观众说出在某组后，魔术师分别把三组牌收拢起来，收拢时保持牌在组内的先后顺序不变，再把收拢好的三组牌叠起来拿在手中，叠的时候暗中将观众确认有默记牌的那组放在中间一层。魔术师不再洗牌，随即开始第二次分牌。分法如前，把第一张放在图上1的位置上，第二张放在2的位置上 …… 然 后问观众，默记的那张牌现在在哪一组。当观众说出所在组后魔术师如前再次收拢、叠起 ，然后进行第三次分牌。分好后再次问观众默记的牌在哪一组。当观众指出所在的组后，魔术师此时毫不犹豫地从该组中抽出一张牌来，此牌恰是观众默记的那一张. 他的表演博得一片掌。你知道是什么原理吗？

【解析】第一次分牌后，观众所默记的那张牌，比如A牌，可能出现在任何一组的任何位置。 然而，第二次分完后，A牌所在的位置只能是图上的8~14号之一，这是因为8~14号上的那7张牌原先是一组被魔术师事先故意地放在中间一层的缘故。现在A牌不论被分入哪一个新组，它只是新组内中间的三张牌之一，即这组内的第三、第四或第五张。第三次分完后，A牌的位置只能是图上的10、11、12之一了。道理是这三个位置上的三张牌即是收拢前的A所在那组的中间的三张。现在，由于 10、11、12号位置分别是三个组的正中间，只要观众说出A在哪一组，魔术师把该组正中的牌抽出来就是观众选择的牌。你也可以试试表演一下这个魔术，只是在表演的时候一定要记得每次叠放时把含A牌的一组放在中间而又不要引起观众注意哦！

归纳思想。不完全归纳法在小学数学的教学中应用比较广泛。小学数学中很多运算法则、公式、定律等的推导，都是在例举几个特殊例子的基础上得出的。如根据40+56=56+40，28+37=37+28，120+80=80+120等几个有限的例子，得出加法交换律。数学课程标准特别强调培养学生探索图形和数的排列规律，探索规律的过程就是一个应用不完全归纳法的过程。

案例：观察下面的一组算式，你能发现什么规律？

14+41=55,  34+43=77,  27+72=99,  46+64=110,  38+83=121

分析：通过观察算式，能够发现这样一些规律：所有的算式都是两位数加两位数，每个算式的两个加数中的一个加数的个位和十位数互换，变成另一个加数。再进一步观察，所有算式的得数有两位数也有三位数，它们有什么共同的规律呢？把它们分别分解质因数发现，每个数都是11的倍数。这样就可以大胆猜想并归纳结论：两个互换个位数和十位数的两位数相加，结果是11的倍数。再举例验证：57+75=132＝11×12，69+96=165=11×15，初步验证猜想是正确的。那么如何进行严密的数学证明呢？可设任意一个两位数是ab(a和b是1～9的自然数)，那么ab+ba=(10a+b)+(10b+a)=10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b)，从而证明了结论的正确。

类比推理，是从特殊到特殊的推理方法，即依据两类事物的相似性，用一类事物的性质去推测另一类事物也具有该性质的推理方法。依据该方法得到的结论可能为真也可能为假，需要进一步证明结论的可靠性。

类比推理是在已有知识的基础上进一步发展科学的一种有效的探索方法。科学史上很多 著名 的发现 是借助于类比推理而获得的。

皇冠问题：公元前245年，为了庆祝盛大的月亮节，西拉克斯的国王给金匠一块金子让他做一顶纯金的皇冠。完工后，国王怀疑工匠在金冠中掺了假 ，但这顶金冠确与当初交给金匠的纯金一样重，到底工匠有没有捣鬼呢？既想检验真假又不能破坏王冠 ，这个问题不仅难倒了国王，也使诸大臣们面面相觑。这就是著名的皇冠问题。

【解析】这件看来似乎是不能完成的任务后来是由阿基米德完成的. 最初，阿基米德也是冥思苦想而不得要领。一天，他到澡堂洗澡，当他的身体进入浴池时，他敏锐地察觉到水位上升，由此受到启发，产生联想，把在自己进入浴池中水位上升与求皇冠重量进行类比，他突然领悟到可以用测定固体在水中排水量的办法，来确定金冠的比重。他把皇冠和同等重量的纯金放在盛满水的两个盆里，比较两盆溢出来的水，发现放皇冠的盆里溢出来的水比另一盆多。这就说明冠的体积比相同重量的纯金的体积大，所以证明了皇冠里掺进了其他金属。这次试验的意义远远大过查出金匠欺骗事件，因为阿基米德从中发现了浮力定律。一直到现代，人们还在利用这个原理计算物体比重和测定船舶载重量。

（1）类比思想。无论是学习新知识，还是利用已有知识解决新问题，如果能够把新知识和新问题与已有的相类似的知识进行类比，进而找到解决问题的方法，这样就实现了知识和方法的正迁移。因此，要引导学生在学习数学的过程中善于利用类比思想，提高解决问题的能力。有些类比比较直接，如由整数的运算定律迁移到小数、分数的运算定律，问题解决中数量关系相近的问题的类比等。而有些类比比较隐蔽，需要在分析的基础上才能实现。如抽屉原理，变式练习有很多，难度较大，解决此类问题的关键就是通过类比找到抽屉。应用类比的思想方法，关键在于发现两类事物相似的性质，因此，观察与联想是类比的基础。另外，中学数学与小学数学可以类比的知识有很多，如果打好小学数学的知识基础和掌握类比思想，对于初中数学的学习会有较大益处。如在代数中，与整数的运算顺序和运算定律相类比，可以导出有理数和整式的运算顺序和运算定律；与分数的基本性质相类比，可以导出分式也具有类似的性质，并且可以推出它和分数一样能够进行化简和运算。

案例：计算并观察下面的算式，你能发现什么规律？

１＝１²

１＋３＝４＝２²

１＋３＋５＝９＝３²

１＋３＋５＋７＝

……

１＋３＋５＋７＋…＋99＝

分析：此题是由从1开始的奇数组成的系列加法算式，每一组算式比前一组多一个后继的奇数。通过计算并观察每组算式的得数，１是一个奇数，等于１的平方；（１＋３）是前２个奇数相加，等于２的平方；（１＋３＋５）是前３个奇数相加，等于３的平方；（１＋３＋５＋７）是前４个奇数相加，通过与前面算式进行类比，猜想应该等于４的平方；（１＋３＋５＋７）＝１６，４²＝１６，猜想正确。那么最后的算式是前５０个奇数相加，等于５０的平方。因此，可以归纳出一般的规律：前n个奇数相加的和等于n的平方。

3. 推理思想的具体应用。

推理思想作为数学的一个重要的思想方法，无论在小学还是在中学都有着广泛的应用，尤其是合情推理作为数学发现的一种重要方法，在小学数学的探究学习和再创造学习中应用更为广泛。在小学数学中虽然没有初中类似于数学证明等严密规范的演绎推理，但是在很多结论的推导过程中间接地应用了演绎推理。如推导出平行四边形的面积公式之后，三角形的面积公式的推导过程是先把两个同样的三角形拼成一个平行四边形，再根据平行四边形的面积公式推出三角形的面积公式。这个过程实际上应用了演绎推理，如下：平行四边形的面积等于底乘高，两个同样的三角形的面积等于平行四边形的面积，所以两个同样的三角形的面积等于底乘高；因而一个三角形的面积就等于底乘高的积除以2。

小学数学中推理思想的应用如下表。

思想方法	知识点	应用举例
不完全归纳法	找规律	找数列和图形的规律
	整数计算	四则计算法则的总结
	运算定律	加法交换律：a+b=b+a
		加法结合律：a+b+c=a+(b+c)
		乘法交换律：ab=ba
		乘法结合律：(ab)c=a(bc)
		乘法分配律：a(b+c)=ab+ac
	除法	商不变的规律
	分数	分数的基本性质
	面积	长方形面积公式的推导
	体积	长方体体积公式的推导
		圆柱体积公式的推导
		圆锥体积公式的推导
完全归纳法	三角形	三角形内角和的推导
类比推理	整数读写法	亿以内及亿以上的数的读写，与万以内数的读写相类比
	整数的运算	四则计算的法则：多位数加减法与两位数加减法相类比，多位数乘多位数与多位数乘一位数相类比，除数是多位数的除法与除数是一位数的除法相类比
	小数的运算	整数的运算法则、顺序和定律推广到小数
	分数的运算	整数的运算顺序和运算定律推广到分数