今天认真阅读了《小学数学教材中的大道理》一书之课题6：忽视“包含除”后患无穷，看完后发现有些习以为常的东西，在不经意间被打破、重组，有刚看时的困惑，有思考后的澄明，此时的心境，应合了王国维的那句话：“人生有三重境界：看山是山，看水是水；看山不是山，看水不是水；看山还是山，看水还是水。”

1. 看山是山，看水是水

    

   这一阶段如果按慧能禅法来理解，这就是把主观和客观对立起来了。我是我，山是山，水是水，山和水都是客观存在的风景，我则是那个站在山前水畔欣赏风景的人。这样一个场面，如果按王国维《人间词话》的说法，就是“有我之境”。

    

   对于除法，一向以来，我都习以为常地去教，从来没有去深思过教材中包含除与等分除孰轻孰重这一问题，哪怕是在前不久教《分数除法》这一单元时，虽然我也经历了一个痛苦的过程：学生对分数除以整数的意义很容易从等分除方面来理解，但对于整数除以分数的意义，学生无人能说，最后还是我牵强地从包含除的角度直接告诉学生，现在想来，张先生所说的“分数除法对包含除的需求特别强烈”，正是一语中的。

    

   二、看山不是山，看水不是水

    

   第二阶段是指主观与客观的界限已经消弭不见了，山和水不再作为客观存在的风景而对立于我这个欣赏风景的人。按照王国维的说法，这就是“无我之境”。

    

   看了课题6，让我重新来审视除法，重新来认识等分除和包含除这对孪生兄弟，终于对除法有了更深入的认识。认识1：小学数学教材中有忽视包含除的倾向。认识2：小学教学不能忽视包含除的教学价值。认识3：教学中要实现等分除与包含除的统一。认识4：用包含除可以来呈现一个数除以分数的算理，推导一个数除以分数的法则。这其中最重要的一点是：我对等分除与包含除有了更深刻的认识。知道等分除是指知道总数和平均分的份数，用除法计算每份是多少。包含除是知道总数和每份数，用除法计算参与平均分的份数，即总数里含有多个份。

    

    

    

    

    

    

    

   三、看山还是山，看水还是水

    

   在经历了上面两个阶段后，我慢慢开始达到第三个阶段，因为我心里知道，其实山不是山，水不是水，那才是“真谛”。当然，对于除法，在经历了包含除与等分除的辨析、比较、统一的一个深入的认识过程之后，我又回到除法本身来思考。什么是除法？除法的本质是什么？《小学数学教学基本概念解读》一书中指出：除法是平均分的数学化表示，除法的本质是平均分。既然除法本质是平均分，那么不管是包含除还是等分除，都属于除法，都应该具有除法的本质属性：平均分，那么，何不以平均分为主线，将包含除与等分除很好地合二为一呢？

    

   事实上, 仔细推敲不难发现：“ 把15平均分成3份,每份是几?”也可以说成“15里面包含有3个几?”同理,“15里面 ( 包含 )有几个3？”不也就是“把 15平均分成几份, 每份是3” 吗 ？“ 平均”与“包含”在叙述上是相关的, 我认为可以统一用“平均分”来表述。如下图：

    

   从这个角度上来思考的话，我觉得学生不需要理解哪些题是等分除，哪些题是包含除，只需要结合具体情境，能够力求在分物活动中，利用自己的策略实际进行操作，并在操作中感悟除法的含义。同时，教师不必对除法作如此细致的划分。因为除法就是分配东西，在实际生活中遇到除法时，我们不可能先在头脑里区分是等分除还是包含除，而是直接进入分配物体的计算。无论是等分除还是包含除，学生只要理解除法的意义：即每份同样多就是平均分，会用除法解决平均分的问题即可。

    

   下图呈现了学生学习除法的认知过程，从这个角度上说，学生不知道包含除还是等分除并不重要，重要的是学生通过实物操作、表象操作和抽象操作，能够寻找到除法的意义，能够对除法的本质——平均分有深入地理解，能够在具体的情境中正确地运用除法来解决问题就足够了。